14В. а) Решите уравнение \({\lg ^2}{x^3}-20\lg \sqrt x + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2;10} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\sqrt[9]{{10}};\;\;\;10;\) б) \(10.\)
а) \({\lg ^2}{x^3}-20\lg \sqrt x + 1 = 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} > 0,\,}\\{\sqrt x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \({\lg ^2}{x^3}-20\lg \sqrt x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\left( {3\;\lg x} \right)^2}-10\lg x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;9{\lg ^2}x-10\lg x + 1 = 0.\) Пусть \(\lg x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(9{t^2}-10t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{9},}\\{{t} = 1.\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x = \frac{1}{9},}\\{\lg x = 1\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt[9]{{10}},}\\{x = 10.\;\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;10} \right].\) Так как \(\sqrt[9]{{10}} < \sqrt[9]{{512}} = \sqrt[9]{{{2^9}}} = 2,\) то \(x = \sqrt[9]{{10}} \notin \left[ {2;10} \right].\) \(x = 10\,\, \in \,\,\left[ {2;10} \right].\) Ответ: а) \(\sqrt[9]{{10}};\;\;\;10;\) б) \(10.\)