15В. а) Решите уравнение \(2{\log _9}x + 9{\log _x}3 = 10\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {3;\;{3^{{{\log }_2}256}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(3;\;\;\;{3^9};\) б) \(3.\)
а) \(2{\log _9}x + 9{\log _x}3 = 10.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 1\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \(2{\log _9}x + 9{\log _x}3 = 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\log _{{3^2}}}x + 9{\log _x}3 = 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}x + \frac{9}{{{{\log }_3}x}}-10 = 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(t + \frac{9}{t}-10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-10t + 9 = 0,}\\{t \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 9,}\\{{t} = 1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = 9,}\\{{{\log }_3}x = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^9},}\\{x = 3.\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3;\;{3^{{{\log }_2}256}}} \right].\) Так как \({3^{{{\log }_2}256}} = {3^{{{\log }_2}{2^8}}} = {3^8} < {3^9},\) то \(x = {3^9}\,\, \notin \,\left[ {3;\;{3^{{{\log }_2}256}}} \right].\) \(x = 3\,\, \in \,\left[ {3;\;{3^{{{\log }_2}256}}} \right].\) Ответ: а) \(3;\;\;\;{3^9};\) б) \(3.\)