16В. а) Решите уравнение \({\log _x}3 \cdot {\log _{3x}}3 = \frac{1}{6}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{{28}};\;{3^{1,9}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{{27}};\;\;\;9;\) б) \(\frac{1}{{27}}.\)
а) \({\log _x}3 \cdot {\log _{3x}}3 = \frac{1}{6}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\,}\\{3x > 0,}\\{3x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 1,}\end{array}}\\{x \ne \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \({\log _x}3 \cdot {\log _{3x}}3 = \frac{1}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{{{\log }_3}x}} \cdot \frac{1}{{{{\log }_3}3x}} = \frac{1}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{1}{{{{\log }_3}x\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}x} \right)}} = \frac{1}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}x\left( {1 + {{\log }_3}x} \right) = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2x + {\log _3}x-6 = 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\;}\\{{t} = -3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = 2,\;}\\{{{\log }_3}x = -3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9,\;\;\,}\\{x = \frac{1}{{27}}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{{28}};\;{3^{1,9}}} \right].\) Так как \(9 = {3^2} > {3^{1,9}},\) то \(x = 9\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{{28}};\;{3^{1,9}}} \right].\) \(x = \frac{1}{{27}}\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{{28}};\;{3^{1,9}}} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{{27}};\;\;\;9;\) б) \(\frac{1}{{27}}.\)