17В. а) Решите уравнение \({\log _x}\left( {125x} \right) \cdot \log _{25}^2x = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;{3^{{{\log }_3}4}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{{625}};\;\;\;5;\) б) \(\frac{1}{{625}}.\)
а) \({\log _x}\left( {125x} \right) \cdot \log _{25}^2x = 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;}\\{x > 0,\;\;\;\;\,}\\{125x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,}\\{x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{{{{\log }_5}\left( {125x} \right)}}{{{{\log }_5}x}} \cdot \log _{{5^2}}^2x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{{{{\log }_5}125 + {{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}x}} \cdot \frac{1}{4}\log _5^2x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {3 + {{\log }_5}x} \right) \cdot {\log _5}x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _5^2x + 3{\log _5}x-4 = 0.\) Пусть \({\log _5}x = t.\) Тогда: \({t^2} + 3t-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\,\;}\\{{t} = -4.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}x = 1,\;\,}\\{{{\log }_5}x = -4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,\;\;\;\,\,}\\{x = \frac{1}{{625}}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;{3^{{{\log }_3}4}}} \right].\) Так как \({3^{{{\log }_3}4}} = 4 < 5,\) то \(x = 5\,\, \notin \,\left[ {0;\;{3^{{{\log }_3}4}}} \right].\) Так как \(0 < \frac{1}{{625}} < 4 = {3^{{{\log }_3}4}},\) то \(x = \frac{1}{{625}}\,\, \in \,\left[ {0;\;{3^{{{\log }_3}4}}} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{{625}};\;\;\;5;\) б) \(\frac{1}{{625}}.\)