18В. а) Решите уравнение \(\log _{2x}^2\left( {4{x^3}} \right)-2 = {\log _{2x}}\left( {4x} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{2};\;\frac{1}{{\sqrt[{10}]{2}}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1;\;\;\;{2^{-\frac{5}{6}}};\) б) \({2^{-\frac{5}{6}}}.\)
а) \(\log _{2x}^2\left( {4{x^3}} \right)-2 = {\log _{2x}}\left( {4x} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x > 0,\;}\\{2x \ne 1,\;\,}\\{4{x^3} > 0,}\\{4x > 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;}\\{x \ne 0,5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;0,5} \right) \cup \left( {0,5;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{{\log _2^2\left( {4{x^3}} \right)}}{{\log _2^2\left( {2x} \right)}}-2 = \frac{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {{{\log }_2}4 + {{\log }_2}{x^3}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right)}^2}}}-2 = \frac{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {2 + 3{{\log }_2}x} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)}^2}}}-2 = \frac{{2 + {{\log }_2}x}}{{1 + {{\log }_2}x}}.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда: \(\frac{{{{\left( {2 + 3t} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}-2 = \frac{{2 + t}}{{1 + t}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\,\frac{{{{\left( {2 + 3t} \right)}^2}-2{{\left( {1 + t} \right)}^2}-\left( {2 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\,\;\,\frac{{4 + 12t + 9{t^2}-2-4t-2{t^2}-2-2t-t-{t^2}}}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\,\frac{{6{t^2} + 5t}}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{t^2} + 5t = 0,}\\{{{\left( {1 + t} \right)}^2} \ne 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t\left( {6t + 5} \right) = 0,}\\{1 + t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;}\\{t = -\frac{5}{6}}\end{array}} \right.}\\{t \ne -1\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;}\\{t = -\frac{5}{6}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 0,\;\;}\\{{{\log }_2}x = -\frac{5}{6}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;}\\{x = {2^{-\frac{5}{6}}}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{2};\;\frac{1}{{\sqrt[{10}]{2}}}} \right].\) Так как \(1 = \frac{1}{{\sqrt[{10}]{1}}} > \frac{1}{{\sqrt[{10}]{2}}},\) то \(x = 1\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{2};\;\frac{1}{{\sqrt[{10}]{2}}}} \right].\) Так как \(\frac{1}{2} = {2^{-1}} < {2^{-\frac{5}{6}}} < {2^{-\frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{{\sqrt[{10}]{2}}},\) то \(x = {2^{-\frac{5}{6}}}\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{2};\;\frac{1}{{\sqrt[{10}]{2}}}} \right].\) Ответ: а) \(1;\;\;\;{2^{-\frac{5}{6}}};\) б) \({2^{-\frac{5}{6}}}.\)