19В. а) Решите уравнение \({\log _x}\sqrt 5 + {\log _x}\left( {5x} \right) = \frac{9}{4} + \log _x^2\sqrt 5 \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{5};\;\sqrt 5 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(5;\;\;\;\sqrt[5]{5};\) б) \(\sqrt[5]{5}.\)
а) \({\log _x}\sqrt 5 + {\log _x}\left( {5x} \right) = \frac{9}{4} + \log _x^2\sqrt 5 .\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne 1,\,\;}\\{5x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{{{{\log }_5}\sqrt 5 }}{{{{\log }_5}x}} + \frac{{{{\log }_5}\left( {5x} \right)}}{{{{\log }_5}x}} = \frac{9}{4} + \frac{{\log _5^2\sqrt 5 }}{{\log _5^2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{2{{\log }_5}x}} + \frac{{1 + {{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}x}} = \frac{9}{4} + \frac{1}{{4\log _5^2x}}.\) Пусть \({\log _5}x = t.\) Тогда: \(\frac{1}{{2t}} + \frac{{1 + t}}{t} = \frac{9}{4} + \frac{1}{{4{t^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2t + 4t + 4{t^2}-9{t^2}-1}}{{4{t^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{t^2}-6t + 1 = 0,}\\{t \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = \frac{1}{5}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}x = 1,}\\{{{\log }_5}x = \frac{1}{5}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,\;\;\,}\\{x = \sqrt[5]{5}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{5};\;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(5 = \sqrt {25} > \sqrt 5 ,\) то \(x = 5\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{5};\;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(\frac{1}{5} = {5^{-1}} < {5^{\frac{1}{5}}} = \sqrt[5]{5} < \sqrt 5 ,\) то \(x = \sqrt[5]{5}\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{5};\;\sqrt 5 } \right].\) Ответ: а) \(5;\;\;\;\sqrt[5]{5};\) б) \(\sqrt[5]{5}.\)