а) \(6\log _8^2x-5{\log _8}x + 1 = 0.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\)
Пусть \({\log _8}x = t.\) Тогда уравнение примет вид:
\(6{t^2}-5t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 0,5,}\\{{t} = \frac{1}{3}.\;\;}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_8}x = 0,5,}\\{{{\log }_8}x = \frac{1}{3}\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\sqrt 2 ,}\\{x = 2.\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;\;2,5} \right].\)
Так как \(2\sqrt 2 = \sqrt 8 > \sqrt {6,25} = 2,5,\) то \(x = 2\sqrt 2 \,\, \notin \,\left[ {2;\;2,5} \right].\)
\(x = 2\, \in \left[ {2;\;2,5} \right].\)
Ответ: а) \(2;\;\;\;2\sqrt 2 ;\)
б) \(2.\)