20В. а) Решите уравнение \({\log _{3x}}\frac{3}{x} + \log _3^2x = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{8};\;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;1;\;\;\;3;\) б) \(1;\;\;\;3.\)
а) \({\log _{3x}}\frac{3}{x} + \log _3^2x = 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x > 0,}\\{3x \ne 1,\,}\\{\frac{3}{x} > 0,\;\,}\\{x > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{{{{\log }_3}\frac{3}{x}}}{{{{\log }_3}\left( {3x} \right)}} + \log _3^2x-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{1-{{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} + \log _3^2x-1 = 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{1-t}}{{1 + t}} + {t^2}-1 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{1-t + {t^2}-1 + {t^3}-t}}{{1 + t}} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{t^3} + {t^2}-2t}}{{1 + t}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{t\left( {{t^2} + t-2} \right)}}{{1 + t}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} + t-2 = 0,}\\{t = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{1 + t \ne 0\;\;\;\,\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2,}\\{t = 1,\;\;\,}\\{t = 0\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{t \ne -1\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2,}\\{t = 1,\;\;\,}\\{t = 0.\,\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = -2,}\\{{{\log }_3}x = 1,\;\;\,}\\{{{\log }_3}x = 0\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{9},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;}\\{x = 1.\;}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{8};\;3} \right].\) \(x = \frac{1}{9}\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{8};\;3} \right];\) \(x = 3\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{8};\;3} \right];\) \(x = 1\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{8};\;3} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;1;\;\;\;3;\) б) \(1;\;\;\;3.\)