21В. а) Решите уравнение \({x^{{{\log }_3}x}} = 81\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;5} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\)

                б) \(\frac{1}{9}.\)

Решение

а) \({x^{{{\log }_3}x}} = 81.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию  3:

\({x^{{{\log }_3}x}} = 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{x^{{{\log }_3}x}} = {\log _3}81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}x \cdot {\log _3}x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_3}x-2} \right)\left( {{{\log }_3}x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = 2,\,}\\{{{\log }_3}x = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9,\,}\\{x = \frac{1}{9}.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {0;\;5} \right].\)

\(x = 9\,\, \notin \,\left[ {0;\;5} \right];\)    \(x = \frac{1}{9}\,\, \in \,\left[ {0;\;5} \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\)

             б) \(\frac{1}{9}.\)