22В. а) Решите уравнение \({x^{{{\log }_{0,5}}x}} = \frac{1}{{16}}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }};\;\sqrt {32} } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{1}{4};\;\,\;4;\)

                б) \(4.\)

Решение

а) \({x^{{{\log }_{0,5}}x}} = \frac{1}{{16}}.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию  0,5:

\({x^{{{\log }_{0,5}}x}} = \frac{1}{{16}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}{x^{{{\log }_{0,5}}x}} = {\log _{0,5}}\frac{1}{{16}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}x \cdot {\log _{0,5}}x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{0,5}^2x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_{0,5}}x-2} \right)\left( {{{\log }_{0,5}}x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{0,5}}x = 2,\,\,}\\{{{\log }_{0,5}}x = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{4},}\\{x = 4.\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }};\;\sqrt {32} } \right].\)

Так как  \(\frac{1}{4} = \frac{1}{{\sqrt {16} }} < \frac{1}{{\sqrt 2 }},\)  то  \(x = \frac{1}{4}\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }};\;\sqrt {32} } \right].\)

Так как  \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} < 4 = \sqrt {16}  < \sqrt {32} ,\)  то  \(x = 4\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }};\;\sqrt {32} } \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{1}{4};\;\,\;4;\)

             б) \(4.\)