а) \({x^{{{\log }_{0,5}}x}} = \frac{1}{{16}}.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5:
\({x^{{{\log }_{0,5}}x}} = \frac{1}{{16}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}{x^{{{\log }_{0,5}}x}} = {\log _{0,5}}\dfrac{1}{{16}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}x \cdot {\log _{0,5}}x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{0,5}^2x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_{0,5}}x-2} \right)\left( {{{\log }_{0,5}}x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{0,5}}x = 2,\,\,}\\{{{\log }_{0,5}}x = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{4},}\\{x = 4.\;}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\;\sqrt {32} } \right].\)
Так как \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{\sqrt {16} }} < \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\) то \(x = \dfrac{1}{4}\,\, \notin \,\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\;\sqrt {32} } \right].\)
Так как \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} < 4 = \sqrt {16} < \sqrt {32} ,\) то \(x = 4\,\, \in \,\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\;\sqrt {32} } \right].\)
Ответ: а) \(\dfrac{1}{4};\;\,\;4;\)
б) \(4.\)