23В. а) Решите уравнение \({x^{1 + {{\log }_3}x}} = 9\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;3;\) б) \(3.\)
а) \({x^{1 + {{\log }_3}x}} = 9.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: \({x^{1 + {{\log }_3}x}} = 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{x^{1 + {{\log }_3}x}} = {\log _3}9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {1 + {{\log }_3}x} \right){\log _3}x = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2x + {\log _3}x-2 = 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -2,}\\{{t} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = -2,}\\{{{\log }_3}x = 1\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{9},}\\{x = 3.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;3} \right].\) Так как \(\frac{1}{9} = \frac{1}{{\sqrt {81} }} < \frac{1}{{\sqrt 3 }},\) то \(x = \frac{1}{9}\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;3} \right].\) \(x = 3\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;3} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;3;\) б) \(3.\)