24В. а) Решите уравнение \({x^{{{\log }_{0,5}}x-2}} = 0,125\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{7};2} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{8};\;\,\,\,2;\) б) \(2.\)
а) \({x^{{{\log }_{0,5}}x-2}} = 0,125.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5: \({x^{{{\log }_{0,5}}x-2}} = 0,125\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}{x^{{{\log }_{0.5}}x-2}} = {\log _{0,5}}0,125\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_{0,5}}x-2} \right){\log _{0,5}}x = 3.\) Пусть \({\log _{0,5}}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(\left( {t-2} \right)t = 3\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\;\;\,}\\{{t} = -1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{0,5}}x = 3,\;}\\{{{\log }_{0,5}}x = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{8},}\\{x = 2.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{7};2} \right].\) \(x = \frac{1}{8}\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{7};2} \right];\) \(x = 2\,\, \in \,\,\left[ {\frac{1}{7};2} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{8};\;\,\,\,2;\) б) \(2.\)