25В. а) Решите уравнение \({x^{\frac{{\lg x + 5}}{3}}} = {10^{5 + \lg x}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{{10}^{-4}};{{10}^4}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \({10^{-5}};\;\;\;1000;\) б) \(1000.\)
а) \({x^{\frac{{\lg x + 5}}{3}}} = {10^{5 + \lg x}}.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: \({x^{\frac{{\lg x + 5}}{3}}} = {10^{5 + \lg x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\lg {x^{\frac{{\lg x + 5}}{3}}} = \lg {10^{5 + \lg x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\frac{{\lg x + 5}}{3}} \right)\lg x = \left( {5 + \lg x} \right)\lg 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\lg ^2}x + 5\lg x = 15 + 3\lg x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\lg ^2}x + 2\lg x-15 = 0.\) Пусть \(\lg x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + 2t-15 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -5,}\\{{t} = 3.\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x = -5,}\\{\lg x = 3\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{10}^{-5}},\;}\\{x = 1000.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{{10}^{-4}};{{10}^4}} \right].\) Так как \({10^{-5}} < {10^{-4}},\) то \(x = {10^{-5}}\,\, \notin \,\left[ {{{10}^{-4}};{{10}^4}} \right].\) Так как \({10^{-4}} < 1000 = {10^3} < {10^4},\) то \(x = 1000\,\, \in \,\,\left[ {{{10}^{-4}};{{10}^4}} \right].\) Ответ: а) \({10^{-5}};\;\;\;1000;\) б) \(1000.\)