26В. а) Решите уравнение \({x^{{{\log }_4}x-2}} = {2^{3\,\left( {{{\log }_4}x-1} \right)}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{3^{{{\log }_3}2}};\;{2^{{{\log }_2}63}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(2;\;\;\;64;\) б) \(2.\)
а) \({x^{{{\log }_4}x-2}} = {2^{3\,\left( {{{\log }_4}x-1} \right)}}.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4: \({x^{{{\log }_4}x-2}} = {2^{3\,\left( {{{\log }_4}x-1} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}{x^{{{\log }_4}x-2}} = {\log _4}{2^{3\,\left( {{{\log }_4}x-1} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_4}x-2} \right){\log _4}x = 3\,\left( {{{\log }_4}x-1} \right){\log _4}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _4^2x-2{\log _4}x = \frac{3}{2}{\log _4}x-\frac{3}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\log _4^2x-7{\log _4}x + 3 = 0.\) Пусть \({\log _4}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2}-7t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\;}\\{{t} = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x = 3,}\\{{{\log }_4}x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 64,}\\{x = 2.\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{3^{{{\log }_3}2}};\;{2^{{{\log }_2}63}}} \right].\) Так как \(64 > 63 = {2^{{{\log }_2}63}},\) то \(x = 64\,\, \notin \left[ {{3^{{{\log }_3}2}};\;{2^{{{\log }_2}63}}} \right].\) Так как \(2 = {3^{{{\log }_3}2}},\) то \(x = 2\,\, \in \,\left[ {{3^{{{\log }_3}2}};\;{2^{{{\log }_2}63}}} \right].\) Ответ: а) \(2;\;\;\;64;\) б) \(2.\)