27В. а) Решите уравнение \({2^{\log _2^2x}} + {x^{{{\log }_2}{x^2}}} = 6\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;2} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;2;\) б) \(2.\)
а) \({2^{\log _2^2x}} + {x^{{{\log }_2}{x^2}}} = 6.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{x^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) Рассмотрим первое слагаемое исходного уравнения: \({2^{\log _2^2x}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}x}}} \right)^{{{\log }_2}x}} = {x^{{{\log }_2}x}}.\) Тогда уравнение примет вид: \({x^{{{\log }_2}x}} + {x^{{{\log }_2}{x^2}}} = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{2{{\log }_2}\left| x \right|}} + {x^{{{\log }_2}x}}-6 = 0.\) Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда уравнение примет вид: \({x^{2{{\log }_2}x}} + {x^{{{\log }_2}x}}-6 = 0.\) Пусть \({x^{{{\log }_2}x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда: \({t^2} + t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -3 < 0,}\\{{t} = 2.\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({x^{{{\log }_2}x}} = 2.\) Прологарифмируем обе части последнего уравнения по основанию 2: \({x^{{{\log }_2}x}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}{x^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}x \cdot {\log _2}x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _2^2x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = -1,}\\{{{\log }_2}x = 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2},}\\{x = 2.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;2} \right].\) \(x = \frac{1}{2}\,\, \notin \,\left[ {1;\;2} \right];\) \(x = 2\,\, \in \,\left[ {1;\;2} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;2;\) б) \(2.\)