28В. а) Решите уравнение \({3^{\log _3^2x}} + {x^{{{\log }_3}x}} = 162\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;\sqrt {90} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\) б) \(9.\)
а) \({3^{\log _3^2x}} + {x^{{{\log }_3}x}} = 162.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Рассмотрим первое слагаемое исходного уравнения: \({3^{\log _3^2x}} = {\left( {{3^{{{\log }_3}x}}} \right)^{{{\log }_3}x}} = {x^{{{\log }_3}x}}.\) Тогда уравнение примет вид: \({x^{{{\log }_3}x}} + {x^{{{\log }_3}x}} = 162\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {x^{{{\log }_3}x}} = 162\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_3}x}} = 81.\) Прологарифмируем обе части последнего уравнения по основанию 3: \({x^{{{\log }_3}x}} = 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{x^{{{\log }_3}x}} = {\log _3}81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}x \cdot {\log _3}x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = -2,}\\{{{\log }_3}x = 2\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{9},}\\{x = 9.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;\sqrt {90} } \right].\) Так как \(\frac{1}{9} = \frac{1}{{\sqrt {81} }} < \frac{1}{{\sqrt 3 }},\) то \(x = \frac{1}{9}\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;\sqrt {90} } \right].\) Так как \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} < 9 = \sqrt {81} < \sqrt {90} ,\) то \(x = 9\,\, \in \,\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\;\sqrt {90} } \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\) б) \(9.\)