а)
\({x^{{{\log }_2}x}} + 2 \cdot {x^{-{{\log }_2}x}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{{x^{{{\log }_2}x}}}} = 3.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\)
Пусть \({x^{{{\log }_2}x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда:
\(t + \frac{2}{t} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-3t + 2 = 0,}\\{t \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 2,}\\{{t_2} = 1.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^{{{\log }_2}x}} = 2,}\\{{x^{{{\log }_2}x}} = 1.\,}\end{array}} \right.\)
Прологарифмируем обе части уравнений последней совокупности по основанию 2:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^{{{\log }_2}x}} = 2,}\\{{x^{{{\log }_2}x}} = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}{x^{{{\log }_2}x}} = {{\log }_2}2,}\\{{{\log }_2}{x^{{{\log }_2}x}} = {{\log }_2}1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \cdot {{\log }_2}x = {{\log }_2}2,}\\{{{\log }_2}x \cdot {{\log }_2}x = {{\log }_2}1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x = 1,}\\{\log _2^2x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = -1,}\\{{{\log }_2}x = 1,\;\;}\\{{{\log }_2}x = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\,}\\{x = 1.\;}\end{array}}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;\sqrt 7 } \right].\)
Так как \(\dfrac{1}{2} < 1,\) то \(x = \dfrac{1}{2}\,\, \notin \,\left[ {1;\;\sqrt 7 } \right].\)
Так как \(1 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt 7 ,\) то \(x = 2\,\, \in \,\left[ {1;\;\sqrt 7 } \right].\)
\(x = 1\,\, \in \,\left[ {1;\;\sqrt 7 } \right].\)
Ответ: а) \(\dfrac{1}{2};\;\;\;1;\;\;\;2;\)
б) \(1;\;\,\;2.\)