Профиль №13. Логарифмические уравнения. Задача 3В

ОТВЕТ:  а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\; \pm \frac{1}{2};\)

               б) \( \pm \frac{1}{2}.\)

а) \(1 + {\log _2}\left( {9{x^2} + 5} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {8{x^4} + 14} .\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{x^2} + 5 > 0,\,\,}\\{8{x^4} + 14 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{x^2} > -5,\,\,}\\{8{x^4} > -14}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,R.\)

\(1 + {\log _2}\left( {9{x^2} + 5} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {8{x^4} + 14} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}2 + {\log _2}\left( {9{x^2} + 5} \right) = {\log _2}\left( {8{x^4} + 14} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {18{x^2} + 10} \right) = {\log _2}\left( {8{x^4} + 14} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;18{x^2} + 10 = 8{x^4} + 14\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{x^4}-9{x^2} + 2 = 0.\)

Пусть  \({x^2} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(4{t^2}-9t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;}\\{{t} = \frac{1}{4}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 2,}\\{{x^2} = \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm \sqrt 2 ,}\\{x =  \pm \frac{1}{2}.\;\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-1;\frac{8}{9}} \right].\)

Так как  \(\sqrt 2  > \sqrt 1  = 1 > \frac{8}{9},\)  то  \(x = \sqrt 2 \,\, \notin \,\,\left[ {-1;\frac{8}{9}} \right].\)

Так как  \(-\sqrt 2  < -\sqrt 1  = -1,\)  то  \(x = -\sqrt 2 \,\, \notin \,\,\left[ {-1;\frac{8}{9}} \right].\)

\(x = \frac{1}{2}\,\, \in \,\,\left[ {-1;\frac{8}{9}} \right];\)      \(x = -\frac{1}{2}\,\, \in \,\,\left[ {-1;\frac{8}{9}} \right].\)

Ответ:  а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\; \pm \frac{1}{2};\)

             б) \( \pm \frac{1}{2}.\)