30В. а) Решите уравнение \({\log _x}\sqrt 2 -\log _x^2\sqrt 2 = {\log _3}27-{\log _x}\left( {2x} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt[5]{2};\;\sqrt[3]{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\sqrt[4]{2};\;\;\;\sqrt 2 ;\) б) \(\sqrt[4]{2}.\)
а) \({\log _x}\sqrt 2 -\log _x^2\sqrt 2 = {\log _3}27-{\log _x}\left( {2x} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne 1,\;\,}\\{2x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{{{{\log }_2}\sqrt 2 }}{{{{\log }_2}x}}-\frac{{\log _2^2\sqrt 2 }}{{\log _2^2x}} = {\log _3}27-\frac{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}{{{{\log }_2}x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{2{{\log }_2}x}}-\frac{1}{{4\log _2^2x}} = 3-\frac{{1 + {{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}x}}.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда: \(\frac{1}{{2t}}-\frac{1}{{4{t^2}}} = 3-\frac{{1 + t}}{t}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{2t-1-12{t^2} + 4t + 4{t^2}}}{{4{t^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{8{t^2}-6t + 1}}{{4{t^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{t^2}-6t + 1 = 0,}\\{4{t^2} \ne 0\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{2},}\\{t = \frac{1}{4}\;}\end{array}} \right.}\\{t \ne 0\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{2},}\\{t = \frac{1}{4}.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = \frac{1}{2},}\\{{{\log }_2}x = \frac{1}{4}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 2 ,}\\{x = \sqrt[4]{2}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt[5]{2};\;\sqrt[3]{2}} \right].\) Так как \(\sqrt 2 > \sqrt[3]{2},\) то \(x = \sqrt 2 \,\, \notin \,\left[ {\sqrt[5]{2};\;\sqrt[3]{2}} \right].\) Так как \(\sqrt[5]{2} < \sqrt[4]{2} < \sqrt[3]{2},\) то \(x = \sqrt[4]{2}\,\, \in \,\left[ {\sqrt[5]{2};\;\sqrt[3]{2}} \right].\) Ответ: а) \(\sqrt[4]{2};\;\;\;\sqrt 2 ;\) б) \(\sqrt[4]{2}.\)