31В. а) Решите уравнение \({\lg ^4}{\left( {x-1} \right)^2} + {\lg ^2}{\left( {x-1} \right)^3} = 25\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;10} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1,1;\;\;\;11;\) б) \(1,1.\)
а) \({\lg ^4}{\left( {x-1} \right)^2} + {\lg ^2}{\left( {x-1} \right)^3} = 25.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x-1} \right)^2} > 0,\\{\left( {x-1} \right)^3} > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 1.\) \({\lg ^4}{\left( {x-1} \right)^2} + {\lg ^2}{\left( {x-1} \right)^3} = 25\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2\lg \left| {x-1} \right|} \right)^4} + {\left( {3\lg \left( {x-1} \right)} \right)^2}-25 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;16{\lg ^4}\left| {x-1} \right| + 9{\lg ^2}\left( {x-1} \right)-25 = 0.\) Так как \(x > 1,\) то \(\left| {x-1} \right| = x-1.\) Тогда уравнение примет вид: \(16{\lg ^4}\left( {x-1} \right) + 9{\lg ^2}\left( {x-1} \right)-25 = 0.\) Пусть \({\lg ^2}\left( {x-1} \right) = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \(16{t^2} + 9t-25 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = -\frac{{25}}{{16}} < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({\lg ^2}\left( {x-1} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg \left( {x-1} \right) = 1,\;\,}\\{\lg \left( {x-1} \right) = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1 = 10,}\\{x-1 = \frac{1}{{10}}\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 11,\;}\\{x = 1,1.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;10} \right].\) \(x = 11\,\, \notin \,\left[ {1;\;10} \right];\) \(x = 1,1\,\, \in \,\left[ {1;\;10} \right].\) Ответ: а) \(1,1;\;\;\;11;\) б) \(1,1.\)