32В. а) Решите уравнение \(\frac{{{{\log }_3}x-1}}{{{{\log }_3}\frac{x}{3}}}-2{\log _3}\sqrt x + \log _3^2x = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt 3 ;\;\sqrt {82} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{3};\;\;\;9;\) б) \(9.\)
а) \(\frac{{{{\log }_3}x-1}}{{{{\log }_3}\frac{x}{3}}}-2{\log _3}\sqrt x + \log _3^2x = 3.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{x}{3} > 0,\;\,\,\;\;\;}\\{\sqrt x > 0,\;\;\;}\\{{{\log }_3}\frac{x}{3} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{\frac{x}{3} \ne 1\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 3\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;3} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).} \right.\) \(\frac{{{{\log }_3}x-1}}{{{{\log }_3}\frac{x}{3}}}-2{\log _3}\sqrt x + \log _3^2x = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_3}x-{{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}\frac{x}{3}}}-2{\log _3}{x^{\frac{1}{2}}} + \log _3^2x = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_3}\frac{x}{3}}}{{{{\log }_3}\frac{x}{3}}}-{\log _3}x + \log _3^2x-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2x-{\log _3}x-2 = 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -1,}\\{{t} = 2.\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = — 1,}\\{{{\log }_3}x = 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3},}\\{x = 9.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 3 ;\;\sqrt {82} } \right].\) Так как \(\frac{1}{3} = \frac{1}{{\sqrt 9 }} < \sqrt 3 ,\) то \(x = \frac{1}{3}\,\, \notin \,\left[ {\sqrt 3 ;\;\sqrt {82} } \right].\) Так как \(\sqrt 3 < 9 = \sqrt {81} < \sqrt {82} ,\) то \(x = 9\,\, \in \,\left[ {\sqrt 3 ;\;\sqrt {82} } \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{3};\;\;\;9;\) б) \(9.\)