33В. а) Решите уравнение \(\log _{0,25}^2\frac{x}{{16}} + \log _{0,25}^2\frac{x}{4} = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {3;\;{2^{{{\log }_2}15}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(4;\;\;\;16;\) б) \(4.\)
а) \(\log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{{16}} + \log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{4} = 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{{16}} > 0,}\\{\frac{x}{4} > 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{{16}} + \log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{\frac{1}{4}}^2\left( {\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4}} \right) + \log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\frac{x}{4} + 1} \right)^2} + \log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{4} + 2{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{x}{4} + 1 + \log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{4} + 2{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{x}{4} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{x}{4}\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\frac{x}{4} + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{\frac{1}{4}}}\frac{x}{4} = -1,}\\{{{\log }_{\frac{1}{4}}}\frac{x}{4} = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{4} = 4,}\\{\frac{x}{4} = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 16,}\\{x = 4.\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3;\;{2^{{{\log }_2}15}}} \right].\) Так как \(16 > 15 = {2^{{{\log }_2}15}},\) то \(x = 16\,\, \notin \,\left[ {3;\;{2^{{{\log }_2}15}}} \right].\) Так как \(3 < 4 < 15 = {2^{{{\log }_2}15}},\) то \(x = 4\,\, \in \,\left[ {3;\;{2^{{{\log }_2}15}}} \right].\) Ответ: а) \(4;\;\;\;16;\) б) \(4.\)