34В. а) Решите уравнение \(\log _{0,5}^{\;2}\left( {4x} \right) + {\log _2}\frac{{\;{x^2}}}{8} = 8\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{2^{-4{{\log }_3}9}};\;\frac{3}{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{{128}};\;\;\;2;\) б) \(\frac{1}{{128}}.\)
а) \(\log _{0,5}^{\;2}\left( {4x} \right) + {\log _2}\frac{{\;{x^2}}}{8} = 8.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}4x > 0\\\frac{{\,{x^2}}}{8} > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\log _{0,5}^{\;2}\left( {4x} \right) + {\log _2}\frac{{\;{x^2}}}{8} = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{{2^{-1}}}^2\left( {4x} \right) + {\log _2}{x^2}-{\log _2}8 = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {-\left( {{{\log }_2}4 + {{\log }_2}x} \right)} \right)^2} + 2{\log _2}\left| x \right|-3-8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _2}\left| x \right|-11 = 0.\) Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда уравнение примет вид: \({\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _2}x-11 = 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t-11 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 6t-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\,}\\{{t} = -7.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 1,\;\,}\\{{{\log }_2}x = -7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;}\\{x = \frac{1}{{128}}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{2^{-4{{\log }_3}9}};\;\frac{3}{2}} \right].\) Так как \(2 > \frac{3}{2},\) то \(x = 2\,\, \notin \,\left[ {{2^{-4{{\log }_3}9}};\;\frac{3}{2}} \right].\) Так как \({2^{-4{{\log }_3}9}} = \frac{1}{{{2^8}}} < \frac{1}{{{2^7}}} = \frac{1}{{128}} < \frac{3}{2},\) то \(x = \frac{1}{{128}}\, \in \,\left[ {{2^{-4{{\log }_3}9}};\;\frac{3}{2}} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{{128}};\;\;\;2;\) б) \(\frac{1}{{128}}.\)