35В. а) Решите уравнение \(\left| {\,{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2\,} \right|-\left| {\,{{\log }_3}x-2\,} \right| = 2\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;10} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\)

               б) \(9.\)

Решение

а) \(\left| {{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)

\(\left| {{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {2{{\log }_3}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2.\)

Пусть  \({\log _3}x = t.\)  Тогда уравнение примет вид:  \(\left| {2t-2} \right|-\left| {t-2} \right| = 2.\)

Решим полученное уравнение методом интервалов. Рассмотрим случай  \(t < 1:\)

\(\left\{ \begin{array}{l}t < 1,\\-2t + 2 + t-2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t < 1,\\t = -2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = -2.\)

Рассмотрим случай  \(1 \le t < 2:\)

\(\left\{ \begin{array}{l}1 \le t < 2,\\2t-2 + t-2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}1 \le t < 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \notin R.\)

Рассмотрим случай  \(t \ge 2:\)

\(\left\{ \begin{array}{l}t \ge 2,\\2t-2-t + 2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t \ge 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 2.\)

Вернёмся к прежней переменной:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = -2,}\\{{{\log }_3}x = 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{9},}\\{x = 9.\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {1;\;10} \right].\)

\(x = \frac{1}{9} \notin \left[ {1;10} \right];\)    \(x = 9 \in \left[ {1;10} \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\)

             б) \(9.\)