35В. а) Решите уравнение \(\left| {\,{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2\,} \right|-\left| {\,{{\log }_3}x-2\,} \right| = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;10} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\) б) \(9.\)
а) \(\left| {{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) \(\left| {{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {2{{\log }_3}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(\left| {2t-2} \right|-\left| {t-2} \right| = 2.\) Решим полученное уравнение методом интервалов. Рассмотрим случай \(t < 1:\) \(\left\{ \begin{array}{l}t < 1,\\-2t + 2 + t-2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t < 1,\\t = -2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = -2.\) Рассмотрим случай \(1 \le t < 2:\) \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le t < 2,\\2t-2 + t-2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}1 \le t < 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \notin R.\) Рассмотрим случай \(t \ge 2:\) \(\left\{ \begin{array}{l}t \ge 2,\\2t-2-t + 2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t \ge 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 2.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = -2,}\\{{{\log }_3}x = 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{9},}\\{x = 9.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;10} \right].\) \(x = \frac{1}{9} \notin \left[ {1;10} \right];\) \(x = 9 \in \left[ {1;10} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{9};\;\;\;9;\) б) \(9.\)