36В. а) Решите уравнение \({\log _2}{\log _3}\left( {{x^2}-16} \right)-{\log _{\frac{1}{2}}}{\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{{{x^2}-16}} = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-6;\,4} \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm 5;\) б) \(-5.\)
а) \({\log _2}{\log _3}\left( {{x^2}-16} \right)-{\log _{\frac{1}{2}}}{\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{{{x^2}-16}} = 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-16 > 0,\,}\\{\frac{1}{{{x^2}-16}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-4} \right)\left( {x + 4} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).\) \({\log _2}{\log _3}\left( {{x^2}-16} \right)-{\log _{\frac{1}{2}}}{\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{{{x^2}-16}} = 2\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}{\log _3}\left( {{x^2}-16} \right)-{\log _{{2^{-1}}}}{\log _{{3^{-1}}}}{\left( {{x^2}-16} \right)^{-1}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2}-16} \right)} \right) + {\log _2}\left( {-{{\log }_3}{{\left( {{x^2}-16} \right)}^{-1}}} \right) = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2}-16} \right)} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2}-16} \right)} \right) = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\log _2}\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2}-16} \right)} \right) = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2}-16} \right)} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {{x^2}-16} \right) = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-16 = 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 25\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 5,\;\;\,}\\{{x} = -5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-6;\,4} \right].\) \(x = 5 \notin \left[ {-6;4} \right];\) \(x = -5 \in \left[ {-6;4} \right].\) Ответ: а) \( \pm 5;\) б) \(-5.\)