38В. а) Решите уравнение \(16-{4^{\,\,x\,\,\lg 7}} = \left| {\,6 \cdot {7^{\,x\,\,\lg 2}}-24\,} \right|\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\,1,5;\,\,2,5\,} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \({\log _7}10;\,\,\,\,\,\,{\log _7}100;\)

                б) \({\log _7}100.\)

Решение

а) \(16-{4^{x\lg 7}} = \left| {6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24} \right|.\)

Уравнение вида  \(\left| {\,f\left( x \right)\,} \right| = g\left( x \right)\)  равносильно совокупности двух систем:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\,\;\;\;\;}\\{f\left( x \right) = g\left( x \right)}\end{array}\;\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Тогда уравнение  \(16-{4^{x\lg 7}} = \left| {6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24} \right|\)  примет вид:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16-{4^{x\lg 7}} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = 16-{4^{x\lg 7}}}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16-{4^{x\lg 7}} \ge 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = -16 + {4^{x\lg 7}}.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16-{4^{x\lg 7}} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = 16-{4^{x\lg 7}}.}\end{array}} \right.\)

Решим неравенство данной системы:

\(16-{4^{x\lg 7}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{x\lg 7}} \le {4^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\lg 7 \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 2{\log _7}10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {\log _7}100.\)

Рассмотрим уравнение первой системы:  \(6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = 16-{4^{x\lg 7}}.\)

Так как  \({a^{{{\log }_c}b}} = {a^{\frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{1}{{{{\log }_a}c}}}} = {b^{{{\log }_c}a}},\)  то:

\(6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = 16-{4^{x\lg 7}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6 \cdot {2^{x\lg 7}}-24 = 16-{2^{2x\lg 7}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2x\lg 7}} + 6 \cdot {2^{x\lg 7}}-40 = 0.\)

Пусть  \({2^{x\lg 7}} = t,\)  \(t > 0.\)  Тогда уравнение примет вид:

\({t^2} + 6t-40 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 4,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{{t} = -10 < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16-{4^{x\lg 7}} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = 16-{4^{x\lg 7}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_7}100,}\\{{2^{x\lg 7}} = 4\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_7}100,}\\{x\lg 7 = 2\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_7}100,}\\{x = 2{{\log }_7}10\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_7}100,}\\{x = {{\log }_7}100\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {\log _7}100.\)

Рассмотрим вторую систему:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16-{4^{x\lg 7}} \ge 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = -16 + {4^{x\lg 7}}.}\end{array}} \right.\)

Решим неравенство данной системы:  \(16-{4^{x\lg 7}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {\log _7}100.\)

Рассмотрим уравнение второй системы:  \(6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = -16 + {4^{x\lg 7}}.\)

Так как  \({a^{{{\log }_c}b}} = {a^{\frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{1}{{{{\log }_a}c}}}} = {b^{{{\log }_c}a}},\)  то:

\(6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = -16 + {4^{x\lg 7}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6 \cdot {2^{x\lg 7}}-24 = -16 + {2^{2x\lg 7}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2x\lg 7}}-6 \cdot {2^{x\lg 7}} + 8 = 0.\)

Пусть  \({2^{x\lg 7}} = t,\)  \(t > 0.\)  Тогда уравнение примет вид:

\({t^2}-6t + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,}\\{{t} = 4.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16-{4^{x\lg 7}} \ge 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{6 \cdot {7^{x\lg 2}}-24 = -16 + {4^{x\lg 7}}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_7}100,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x\lg 7}} = 2,}\\{{2^{x\lg 7}} = 4\;}\end{array}\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_7}100,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\lg 7 = 1,}\\{x\lg 7 = 2}\end{array}\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_7}100,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_7}10,\;\;}\\{x = {{\log }_7}100\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_7}10,\;\;}\\{x = {{\log }_7}100.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного уравнения является:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_7}10,\;\;}\\{x = {{\log }_7}100.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {\,1,5;\,\,2,5\,} \right].\)

Так как  \(1,5 = {\log _7}{7^{\frac{3}{2}}} = {\log _7}\sqrt {343}  > {\log _7}\sqrt {100}  = {\log _7}10,\)  то  \(x = {\log _7}10 \notin \left[ {1,5;2,5} \right].\)

Так как  \(1,5 = {\log _7}{7^{\frac{3}{2}}} = {\log _7}\sqrt {343}  < {\log _7}100 = {\log _7}\sqrt {10000}  < {\log _7}\sqrt {16807}  = {\log _7}{7^{\frac{5}{2}}} = 2,5,\)  то  \(x = {\log _7}100 \in \left[ {1,5;2,5} \right].\)

Ответ:  а) \({\log _7}10;\,\,\,\,\,\,{\log _7}100;\)

             б) \({\log _7}100.\)