4В. а) Решите уравнение \(\log _2^2\left( {{x^2}} \right)-16{\log _2}\left( {2x} \right) + 31 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {3;\,6} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(2\sqrt 2 ;\;\;\;4\sqrt 2 ;\) б) \(4\sqrt 2 .\)
а) \(\log _2^2\left( {{x^2}} \right)-16{\log _2}\left( {2x} \right) + 31 = 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} > 0,}\\{2x > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,}\\{x > 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\log _2^2\left( {{x^2}} \right)-16{\log _2}\left( {2x} \right) + 31 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^2}\log _2^2x-16\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right) + 31 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;4\log _2^2x-16-16{\log _2}x + 31 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\log _2^2x-16{\log _2}x + 15 = 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(4{t^2}-16t + 15 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{3}{2},}\\{{t} = \frac{5}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = \frac{3}{2},}\\{{{\log }_2}x = \frac{5}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\sqrt 2 ,}\\{x = 4\sqrt 2 .}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3;\,6} \right].\) Так как \(2\sqrt 2 = \sqrt 8 < \sqrt 9 = 3,\) то \(x = 2\sqrt 2 \,\, \notin \,\left[ {3;\,6} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < 4\sqrt 2 = \sqrt {32} < \sqrt {36} = 6,\) то \(x = 4\sqrt 2 \,\, \in \,\left[ {3;\,6} \right].\) Ответ: а) \(2\sqrt 2 ;\;\;\;4\sqrt 2 ;\) б) \(4\sqrt 2 .\)