5В. а) Решите уравнение \({\lg ^2}\left( {10x} \right) + \lg \left( {10x} \right) = 6-3\lg \frac{1}{x}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};\;{\log_3}{2^{100}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{{100}};\;\;\;100;\) б) \(\frac{1}{{100}}.\)
а) \({\lg ^2}\left( {10x} \right) + \lg \left( {10x} \right) = 6-3\lg \frac{1}{x}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x > 0,}\\{\frac{1}{x} > 0\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \({\lg ^2}\left( {10x} \right) + \lg \left( {10x} \right) = 6-3\lg \frac{1}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\lg 10 + \lg x} \right)^2} + \lg 10 + \lg x-6-3\lg x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {1 + \lg x} \right)^2} + 1-6-2\lg x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\lg ^2}x + 2\lg x + 1-2\lg x-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\lg ^2}x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\lg x-2} \right)\left( {\lg x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x = 2,\;}\\{\lg x = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 100,\;}\\{x = \frac{1}{{100}}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};\;{\log_3}{2^{100}}} \right]\). Так как \(100 = 100{\log _3}3 = {\log _3}{3^{100}} > {\log _3}{2^{100}},\) то \(x = 100\,\, \notin \,\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};\;{\log_3}{2^{100}}} \right].\) Так как \({\log _3}\frac{1}{2} = -{\log _3}2 < \frac{1}{{100}} = \frac{1}{{100}}{\log _3}3 = {\log _3}{3^{\frac{1}{{100}}}} < {\log _3}{2^{100}},\) то \(x = \frac{1}{{100}}\,\, \in \,\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};\;{\log_3}{2^{100}}} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{{100}};\;\;\;100;\) б) \(\frac{1}{{100}}.\)