6В. а) Решите уравнение \({\log _2}x + 5{\log _x}2 = 6\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt 2 ;\;\sqrt {1000} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(2;\;\;\;32;\) б) \(2.\)
а) \({\log _2}x + 5{\log _x}2 = 6.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 1\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \({\log _2}x + 5{\log _x}2 = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}x + \frac{5}{{{{\log }_2}x}} = 6.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(t + \frac{5}{t} = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-6t + 5 = 0,}\\{t \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 5,}\\{{t} = 1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 5,}\\{{{\log }_2}x = 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 32,}\\{x = 2.\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 2 ;\;\sqrt {1000} } \right].\) Так как \(32 = \sqrt {1024} > \sqrt {1000} ,\) то \(x = 32\,\, \notin \,\left[ {\sqrt 2 ;\;\sqrt {1000} } \right].\) Так как \(\sqrt 2 < \sqrt 4 = 2 < \sqrt {1000} ,\) то \(x = 2\,\, \in \,\left[ {\sqrt 2 ;\;\sqrt {1000} } \right].\) Ответ: а) \(2;\;\;\;32;\) б) \(2.\)