7В. а) Решите уравнение \({\log _{0,5}}x + 3{\log _x}0,5 = 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{7}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\frac{1}{8};\) б) \(\frac{1}{8}.\)
а) \({\log _{0,5}}x + 3{\log _x}0,5 = 4.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 1\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \({\log _{0,5}}x + 3{\log _x}0,5 = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}x + \frac{3}{{{{\log }_{0,5}}x}} = 4.\) Пусть \({\log _{0,5}}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(t + \frac{3}{t} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-4t + 3 = 0,}\\{t \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{0,5}}x = 1,}\\{{{\log }_{0,5}}x = 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2},}\\{x = \frac{1}{8}.\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{7}} \right].\) Так как \(\frac{1}{2} > \frac{1}{7},\) то \(x = \frac{1}{2}\,\, \notin \,\left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{7}} \right].\) \(x = \frac{1}{8}\, \in \,\left[ {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{7}} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\frac{1}{8};\) б) \(\frac{1}{8}.\)