8В. а) Решите уравнение \(\frac{1}{{\lg \left( {3x-2} \right)}} + \frac{2}{{\lg \left( {3x-2} \right) + \lg 0,01}} = -1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt {0,5} ;\;\sqrt {17} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0,67;\,\,\;\,4;\) б) \(4.\)
a) \(\frac{1}{{\lg \left( {3x-2} \right)}} + \frac{2}{{\lg \left( {3x-2} \right) + \lg 0,01}} =-1.\) Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(3x-2 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > \frac{2}{3}.\) Пусть \(\lg \left( {3x-2} \right) = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{1}{t} + \frac{2}{{t + \lg 0,01}} = -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{t} + \frac{2}{{t-2}} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t-2 + 2t + {t^2}-2t}}{{t\left( {t-2} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} + t-2}}{{t\left( {t-2} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} + t-2 = 0,}\\{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t-2 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -2,}\\{{t} = 1\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;}\\{t \ne 2\,\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -2,}\\{{t} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg \left( {3x-2} \right) = -2,}\\{\lg \left( {3x-2} \right) = 1\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-2 = 0,01,}\\{3x-2 = 10\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,67,}\\{x = 4.\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt {0,5} ;\;\sqrt {17} } \right].\) Так как \(0,67 = \sqrt {0,4489} < \sqrt {0,5} ,\) то \(x = 0,67\,\, \notin \,\,\left[ {\sqrt {0,5} ;\sqrt {17} } \right].\) Так как \(\sqrt {0,5} < 4 = \sqrt {16} < \sqrt {17} ,\) то \(x = 4\,\, \in \,\,\left[ {\sqrt {0,5} ;\sqrt {17} } \right].\) Ответ: а) \(0,67;\,\,\;\,4;\) б) \(4.\)