a) \(\dfrac{1}{{\lg \left( {3x-2} \right)}} + \dfrac{2}{{\lg \left( {3x-2} \right) + \lg 0,01}} =-1.\)
Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(3x-2 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > \dfrac{2}{3}.\)
Пусть \(\lg \left( {3x-2} \right) = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(\dfrac{1}{t} + \dfrac{2}{{t + \lg 0,01}} = -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{t} + \dfrac{2}{{t-2}} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t-2 + 2t + {t^2}-2t}}{{t\left( {t-2} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + t-2}}{{t\left( {t-2} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} + t-2 = 0,}\\{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t-2 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -2,}\\{{t} = 1\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;}\\{t \ne 2\,\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -2,}\\{{t} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg \left( {3x-2} \right) = -2,}\\{\lg \left( {3x-2} \right) = 1\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-2 = 0,01,}\\{3x-2 = 10\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,67,}\\{x = 4.\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt {0,5} ;\;\sqrt {17} } \right].\)
Так как \(0,67 = \sqrt {0,4489} < \sqrt {0,5} ,\) то \(x = 0,67\,\, \notin \,\,\left[ {\sqrt {0,5} ;\sqrt {17} } \right].\)
Так как \(\sqrt {0,5} < 4 = \sqrt {16} < \sqrt {17} ,\) то \(x = 4\,\, \in \,\,\left[ {\sqrt {0,5} ;\sqrt {17} } \right].\)
Ответ: а) \(0,67;\,\,\;\,4;\)
б) \(4.\)