a) \(\dfrac{6}{{\lg \left( {x + 7} \right) + 2}}-\dfrac{6}{{\lg \left( {x + 7} \right)-3}} = 5.\)
Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x + 7 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > -7.\)
Пусть \(\lg \left( {x + 7} \right) = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(\dfrac{6}{{t + 2}}-\dfrac{6}{{t-3}} = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{6t-18-6t-12-5\left( {{t^2}-t-6} \right)}}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t-3} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-t}}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t-3} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t\left( {t-1} \right) = 0,}\\{t + 2 \ne 0,\;\;\;\,}\\{t-3 \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,}\\{t = 0}\end{array}\;} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne -2,}\\{t \ne 3\,\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\,}\\{t = 0.}\end{array}\,} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg \left( {x + 7} \right) = 1,}\\{\lg \left( {x + 7} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 7 = 10,}\\{x + 7 = 1\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;}\\{x = -6.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{{\log }_2}\dfrac{1}{{64}};{{\log }_2}7} \right].\)
Так как \(3 = {\log _2}8 > {\log _2}7,\) то \(x = 3\,\, \notin \,\,\left[ {{{\log }_2}\dfrac{1}{{64}};{{\log }_2}7} \right].\)
Так как \({\log _2}\dfrac{1}{{64}} = {\log _2}{2^{-6}} = -6,\) то \(x = -6\,\, \in \,\,\left[ {{{\log }_2}\dfrac{1}{{64}};{{\log }_2}7} \right].\)
Ответ: а) \(3;\;\;\;-6.\)
б) \(-6.\)