1В. а) Решите уравнение \(\frac{{2{{\sin }^2}x + 3\cos x}}{{2\sin x — \sqrt 3 }} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right].\)
а) \(\frac{{2{{\sin }^2}x + 3\cos x}}{{2\sin x — \sqrt 3 }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x + 3\cos x = 0,}\\{2\sin x — \sqrt 3 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x — 3\cos x — 2 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} — 3t — 2 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \frac{1}{2},\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{t} = 2 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -\frac{1}{2},}\\{\sin x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{3} + 2\pi n,\;\;}\\{x \ne \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi n,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) \(x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \frac{{4\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{4\pi }}{3}.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: