10В. а) Решите уравнение \(\cos x\left( {2\cos x + {\rm{tg}}\,x} \right) = 1;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
а) \(\cos x\left( {2\cos x + {\rm{tg}}\,\,x} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\cos x + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x + \sin \,x — 1 = 0,}\\{\cos x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\cos ^2}x + \sin \,x — 1 = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x — \sin \,x — 1 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} — t — 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,\,\,\;\,}\\{{t} = — \frac{1}{2}.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,\,\,\,\,}\\{sinx = -\frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\\{\cos x \ne 0\,\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,}\\{x = -\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = -\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,\,\,}\\{x \ne -\frac{\pi }{2} + 2\pi n,}\end{array}\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\;k,n \in Z\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = -\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\) \(\;x = — \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \;\frac{{13\pi }}{6};\;\,\,\,\,\,\;x = — \;\frac{{5\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\; — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\; — \;\frac{{13\pi }}{6};\;\; — \;\frac{{5\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: