11В. а) Решите уравнение \(\frac{1}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}} — \frac{1}{{\sin x}} — 1 = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \,3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\frac{1}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}} — \frac{1}{{\sin x}} — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} — \frac{1}{{\sin x}} — 1 = 0,}\\{\cos x \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\cos }^2}x-\sin x-{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = 0,}\\{\cos x \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x-\sin x-{{\sin }^2}x = 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0,\,\,}\\{\cos x \ne 0.\,}\end{array}\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \({\cos ^2}x — \sin x — {\sin ^2}x = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x + \sin x — 1 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} + t — 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 1,}\\{{t} = \frac{1}{2}.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = -1,}\\{\sin x = \frac{1}{2}\;\,}\end{array}\,} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0,}\\{\cos x \ne 0.}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{\pi }{2} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \pi n,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,}\\{x \ne -\frac{\pi }{2} + 2\pi n,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;} \right.k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{6} — 2\pi = \; — \;\frac{{11\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\; — \;\frac{{11\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \,3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: