12В. а) Решите уравнение \(2\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \sqrt 3 {\rm{tg}}\,x;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \,3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
а) \(2\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \sqrt 3 {\rm{tg}}\,x.\) Воспользуемся формулой приведения: \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = — \sin x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin x + \sqrt 3 \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2\sin x\cos x + \sqrt 3 \sin x}}{{\cos x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) = 0,}\\{\cos x \ne 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\,\,}\\{\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.}\\{\cos x \ne 0\;\;\;\;\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\,\;\;\;\;\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 3\pi ;\,\,\,\,\,x = — \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \frac{{17\pi }}{6};\,\,\,\,\,x = — 2\pi .\) Ответ: а) \(\pi k,\;\;\;\; \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — 3\pi ;\,\,\, — \frac{{17\pi }}{6};\,\,\, — 2\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \,3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: