13В. а) Решите уравнение \(\frac{{\sin 2x}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)}} = \sqrt 3 ;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2};\,\, — \pi } \right].\)
а) \(\frac{{\sin 2x}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)}} = \sqrt 3 .\) Воспользуемся формулой приведения: \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = — \sin x.\) Тогда уравнение примет вид: \( — \frac{{2\sin x\cos x}}{{\sin x}} = \sqrt 3 \;\;\;\,\,\; \Leftrightarrow \;\,\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2\cos x = \sqrt 3 ,}\\{\sin x \ne 0\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\,\,\, \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2},}\\{\sin x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\,\,\,\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\\{x \ne \pi n,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\,\;k,n \in Z\;\;\;\,\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\;x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{7\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2};\,\, — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: