14В. а) Решите уравнение \(\frac{{2{{\sin }^2}x — \sin x}}{{2\cos x — \sqrt 3 }} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right].\)
а) \(\frac{{2{{\sin }^2}x — \sin x}}{{2\cos x — \sqrt 3 }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\frac{{\sin x\left( {2\sin x — 1} \right)}}{{2\cos x — \sqrt 3 }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\sin x = \frac{1}{2}}\end{array}\,\,} \right.}\\{\cos x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}\;\,\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\\{x \ne \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi n,\,}\end{array}\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = 2\pi ;\;\;\;x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{6};\;\;\;\;x = 3\pi .\) Ответ: а) \(\pi k,\,\;\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(2\pi ;\,\,\,\,\frac{{17\pi }}{6};\,\,\,\,3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: