15В. а) Решите уравнение \(7{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x — \frac{1}{{\cos x}} + 1 = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right].\)
а) \(7{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — \frac{1}{{\cos x}} + 1 = 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{\rm{7}}\,{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\,x}}{{{{\cos }^2}x}} — \frac{1}{{\cos x}} + 1 = 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{\rm{7si}}{{\rm{n}}^2}\,x — \cos x + {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{7si}}{{\rm{n}}^2}\,x — \cos x + {{\cos }^2}x = 0,}\\{{{\cos }^2}x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \({\rm{7si}}{{\rm{n}}^2}\,x — \cos x + {\cos ^2}x = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(6{\cos ^2}x + \cos x — 7 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(6{t^2} + t — 7 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = — \frac{7}{6} \notin \left[ { — 1;1} \right].\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\,}\\{\cos x \ne 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\,\,}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z.\) Ответ: а) \(2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 2\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = — 2\pi .\)