16В. а) Решите уравнение \(\dfrac{{2{{\sin }^2}x — \sqrt 3 \sin x}}{{2\cos x + 1}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;\;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\;\,\,\,\,\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(2\pi ;\,\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{3};\,\,\,\,3\pi .\)
Решение
а)
\(\dfrac{{2{{\sin }^2}x — \sqrt 3 \sin x}}{{2\cos x + 1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\sin x\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right)}}{{2\cos x + 1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}\,} \right.}\\{\cos x \ne — \dfrac{1}{2}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x = \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}\;} \right.}\\{x \ne \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x = \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = 2\pi ;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{3} + 2\pi = \dfrac{{7\pi }}{3};\;\;\;\;x = 3\pi .\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\;\,\,\,\,\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(2\pi ;\,\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{3};\,\,\,\,3\pi .\)