17В. а) Решите уравнение \(\frac{{2{{\cos }^2}x + 3\sin x — 3}}{{\cos x}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};\;4\pi } \right].\)
а) \(\frac{{2{{\cos }^2}x + 3\sin x — 3}}{{\cos x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x + 3\sin x — 3 = 0,}\\{\cos x \ne 0.\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\cos ^2}x + 3\sin x — 3 = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x — 3\sin x + 1 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} — 3t + 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},}\\{{t} = 1.\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2},}\\{\sin x = 1\,\,\,\,}\end{array}} \right.}\\{\cos x \ne 0\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;}\end{array}\;\;\;} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\;\,}\\{x \ne \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi n,}\end{array}\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(\;x = \;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \(\;\frac{{17\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};\;4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: