18В. а) Решите уравнение \(4{\sin ^2}x = {\rm{tg}}\,x;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;0} \right].\)
а) \(4{\sin ^2}x = {\rm{tg}}\,x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\sin ^2}x = \frac{{{\rm{sin}}\,x}}{{\cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4{{\sin }^2}x\cos x — {\rm{sin}}\,x}}{{\cos x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{\rm{sin}}\,x\left( {4\sin x\cos x — 1} \right)}}{{\cos x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{sin}}\,x\left( {4\sin x\cos x — 1} \right) = 0,}\\{\cos x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \({\rm{sin}}\,x\left( {4\sin x\cos x — 1} \right) = 0.\) Так как \(2\sin x\cos x = \sin 2x,\) то уравнение примет вид: \({\rm{sin}}\,x\left( {2\sin 2x — 1} \right) = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{sin}}\,x\left( {2\sin 2x — 1} \right) = 0,}\\{\cos x \ne 0\;\,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{sin}}\,x = 0,\;\,}\\{\sin 2x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\\{\cos x \ne 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{2x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,\;\;\;\;}\end{array}} \right.k \in Z.\) \(x = — \pi ;\;\;\;x = \frac{\pi }{{12}} — \pi = — \frac{{11\pi }}{{12}};\;\;\;\;x = \frac{{5\pi }}{{12}} — \pi = — \frac{{7\pi }}{{12}};\;\;\;\;x = 0.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\;\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,\,\;\,\,\,\,\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \pi ;\;\;\; — \frac{{11\pi }}{{12}};\;\;\;\; — \frac{{7\pi }}{{12}};\;\;\;\;0.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: