19В. а) Решите уравнение \(\frac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = 4{\cos ^2}\frac{x}{2};\)

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{9\pi }}{2}; — 3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\pi  + 2\pi k,\;\;\;k \in Z;\)

б) \( — 3\pi ;\;\; — \frac{{7\pi }}{2}.\)

Решение

а) \(\frac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}.\)

Воспользуемся формулами понижения степени:

\({\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 — \cos 2\alpha }}{2},\;\,\,\;{\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\)  

Тогда уравнение примет вид:

\(\frac{{2\sin x}}{{1 — \cos x}} = 2\left( {1 + \cos x} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 — \cos x} \right),}\\{1 — \cos x \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1 — {{\cos }^2}x,}\\{\cos x \ne 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x — {{\sin }^2}x = 0,}\\{\cos x \ne 1\,\,\;\,\,\,\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x\left( {1 — \sin x} \right) = 0,}\\{\cos x \ne 1\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\sin x = 1\,\,}\end{array}\;\,\;\;} \right.}\\{\cos x \ne 1\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pi  + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\,}\end{array}\;\,\;\;} \right.}\\{x \ne 2\pi n,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;k,n \in Z\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi  + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{9\pi }}{2}; — 3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \pi  — 4\pi  =  — 3\pi ;\;\;\,\,\,\,x = \frac{\pi }{2} — 4\pi  =  — \frac{{7\pi }}{2}.\)

Ответ:  а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\pi  + 2\pi k,\;\;\;k \in Z;\)

             б) \( — 3\pi ;\;\; — \frac{{7\pi }}{2}.\)