2В. а) Решите уравнение \(\frac{{2{{\cos }^2}x — 5\sin x + 1}}{{2\cos x — \sqrt 3 }} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
а) \(\frac{{2{{\cos }^2}x — 5\sin x + 1}}{{2\cos x — \sqrt 3 }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x — 5\sin x + 1 = 0,}\\{2\cos x — \sqrt 3 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\cos ^2}x — 5\sin x + 1 = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x + 5\sin x — 3 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} + 5t — 3 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{t} = — 3 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2},\;\;\;}\\{\cos x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{6} + 2\pi n,\,\;\;}\\{x \ne -\frac{\pi }{6} + 2\pi n,}\end{array}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \(\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{5\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = \frac{{5\pi }}{6}.\)