20В. а) Решите уравнение \(\frac{{5\cos x + 4}}{{4{\rm{tg}}\,x — 3}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\frac{{5\cos x + 4}}{{4{\rm{tg}}\,x — 3}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\cos x + 4 = 0,}\\{4{\rm{tg}}\,x — 3 \ne 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — \frac{4}{5},}\\{{\rm{tg}}\,x \ne \frac{3}{4}.\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Из уравнения \(\cos x = — \frac{4}{5}\) получаем \(x = \pm \arccos \left( { — \frac{4}{5}} \right) + 2\pi k,\,\;\;\;k \in Z.\) Если \(\cos x = — \frac{4}{5},\) то \(\sin x = \pm \sqrt {1 — {{\cos }^2}x} = \pm \sqrt {1 — {{\left( { — \frac{4}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{3}{5},\) тогда \({\rm{tg}}\,x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \pm \frac{3}{4}.\) Следовательно, условию \({\rm{tg}}\,x \ne \frac{3}{4}\) не удовлетворяют значения переменной, для которых \(\cos x = — \frac{4}{5}\) и \(\sin x = — \frac{3}{5}\) одновременно, то есть решения, принадлежащие третьей четверти. Поэтому серия решений \(x = — \arccos \left( { — \frac{4}{5}} \right) + 2\pi k,\,\;\;\;k \in Z\) является посторонней, а серия \(x = \arccos \left( { — \frac{4}{5}} \right) + 2\pi k = \pi — \arccos \frac{4}{5} + 2\pi k,\,\;\;\;k \in Z\) является решением исходного уравнения. \(x = \pi — \arccos \frac{4}{5} — 4\pi = — \arccos \frac{4}{5} — 3\pi .\) Ответ: а) \(\pi — \arccos \frac{4}{5} + 2\pi k;\;\;k \in Z;\) б) \( — 3\pi — \arccos \frac{4}{5}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: