21В. а) Решите уравнение \(\dfrac{{5{\rm{tg}}\,x — 12}}{{13\cos \,x — 5}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {4\pi ;\dfrac{{11\pi }}{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\pi + {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(5\pi + {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5}.\)
Решение
а)
\(\dfrac{{5{\rm{tg}}\,x — 12}}{{13\cos x — 5}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{\rm{tg}}\,x — 12 = 0,\,\,}\\{13\cos x — 5 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = \dfrac{{12}}{5},\,\;\,}\\{\cos x \ne \dfrac{5}{{13}}.}\end{array}} \right.\)
Из уравнения \({\rm{tg}}\,x = \dfrac{{12}}{5}\) получаем \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pi + {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\;\;\;k \in Z.\)
Если \(\cos x = \dfrac{5}{{13}},\) то \(\sin x = \pm \sqrt {1 — {{\cos }^2}x} = \pm \sqrt {1 — {{\left( {\dfrac{5}{{13}}} \right)}^2}} = \pm \dfrac{{12}}{{13}},\) тогда \({\rm{tg}}\,x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \pm \dfrac{{12}}{5}.\) В этом случае с учетом условия \(\cos x \ne \dfrac{5}{{13}}\) системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения \({\rm{tg}}\,x = \dfrac{{12}}{5}\) нужно оставить только ту, для которой \(\sin x = — \dfrac{{12}}{{13}}\) Это точка четвертой четверти, и решение уравнения имеет вид \(x = \pi + {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5} + 2\pi k,\,\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {4\pi ;\dfrac{{11\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:
\(x = \pi + {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5} + 4\pi = {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5} + 5\pi .\)
Ответ: а) \(\pi + {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(5\pi + {\rm{arctg}}\,\dfrac{{12}}{5}.\)