22В. а) Решите уравнение   \(\frac{{26{{\cos }^2}x — 23\cos x + 5}}{{13\sin \,x — 12}} = 0;\)

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\,\; — \arccos \frac{5}{{13}} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{3};\;\;\;2\pi  — {\rm{arccos}}\,\frac{5}{{13}};\;\;\;\frac{{5\pi }}{3}.\)

Решение

а)

\(\frac{{26{{\cos }^2}x — 23\cos x + 5}}{{13\sin \,x — 12}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{26{{\cos }^2}x — 23\cos x + 5 = 0,}\\{13\sin \,x — 12 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\)

Решим уравнение системы:

 \(26{\cos ^2}x — 23\cos x + 5 = 0.\)

Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид:

\(26{t^2} — 23t + 5 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},\;}\\{{t} = \frac{5}{{13}}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},\,\,}\\{\cos x = \frac{5}{{13}},}\end{array}} \right.}\\{\sin \,x \ne \frac{{12}}{{13}}.\,\;}\end{array}} \right.\)

Из совокупности   \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},}\\{\cos x = \frac{5}{{13}}}\end{array}} \right.\)   получаем     \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x =  \pm \arccos \,\frac{5}{{13}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\;\;\;k \in Z.\)

Если \(\cos x = \frac{5}{{13}},\) то  \(\sin x =  \pm \sqrt {1 — {{\cos }^2}x}  =  \pm \sqrt {1 — {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{12}}{{13}}.\) В этом случае с учетом условия \(\sin \,x \ne \frac{{12}}{{13}}\) системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения \(\cos x = \frac{5}{{13}},\) нужно оставить только ту, для которой \(\sin \,x =  — \frac{{12}}{{13}}.\) Это точка в четвертой четверти, и решение уравнения имеет вид    \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  — \arccos \,\frac{5}{{13}} + 2\pi k,}\\{x =  \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\,2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — \arccos \,\frac{5}{{13}} + 2\pi ;\;\;\;x = \frac{\pi }{3};\;\;\;x =  — \frac{\pi }{3} + 2\pi  = \frac{{5\pi }}{3}.\)

Ответ:  а)  \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\,\; — \arccos \frac{5}{{13}} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\)

             б)  \(\frac{\pi }{3};\;\;\;2\pi  — {\rm{arccos}}\,\frac{5}{{13}};\;\;\;\frac{{5\pi }}{3}.\)