23В. а) Решите уравнение \(\frac{{5{{\sin }^2}x — 3\sin x}}{{5\cos x + 4}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2};\, — 2\pi } \right].\)
а) \(\frac{{5{{\sin }^2}x — 3\sin x}}{{5\cos x + 4}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sin x\left( {5\sin x — 3} \right)}}{{5\cos x + 4}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\sin x = \frac{3}{5}}\end{array}\;\;} \right.}\\{\cos x \ne — \frac{4}{5}.}\end{array}} \right.\) Из совокупности \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\sin x = \frac{3}{5}\,}\end{array}\;} \right.\) получаем \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pi — \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,\;\,}\end{array}} \right.\,\;\;\;k \in Z.\) Если \(\sin x = \frac{3}{5},\) то \(\cos x = \pm \sqrt {1 — {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {1 — {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{4}{5}.\) В этом случае с учетом условия \(\cos \,x \ne — \frac{4}{5}\) системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения \(\sin x = \frac{3}{5},\) нужно оставить только ту, для которой \(\cos \,x = \frac{4}{5}.\) Это точка в первой четверти, и решение уравнения имеет вид \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 3\pi ;\;\;x = — 2\pi .\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\,\arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 3\pi ;\,\,\,\, — 2\pi \).
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2};\, — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: