24В. а) Решите уравнение \(\frac{{5\sin x — 3}}{{5\cos x — 4}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\pi — \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\pi — \arcsin \frac{3}{5}\).
а) \(\frac{{5\sin x — 3}}{{5\cos x — 4}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\sin x — 3 = 0,}\\{5\cos x — 4 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{3}{5},\,}\\{\cos x \ne \frac{4}{5}.}\end{array}} \right.\) Из уравнения \(\sin x = \frac{3}{5}\) получаем \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pi — \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\;\;\;k \in Z.\) Если \(\sin x = \frac{3}{5},\) то \(\cos x = \pm \sqrt {1 — {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {1 — {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{4}{5}.\) В этом случае с учетом условия \(\cos \,x \ne \frac{4}{5}\) системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения \(\sin x = \frac{3}{5},\) нужно оставить только ту, для которой \(\cos \,x = — \frac{4}{5}.\) Это точка во второй четверти, и решение уравнения имеет вид \(x = \pi — \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,\,\;\;\;k \in Z.\) б) Рассмотрим решение: \(x = \pi — \arcsin \,\frac{3}{5} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Если \(k \le — 1,\) то \(x \le \pi — \arcsin \frac{3}{5} — 2\pi = — \pi — \arcsin \,\frac{3}{5} < 0,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) нет. Если \(k = 0,\) то \(x = \pi — \arcsin \,\frac{3}{5} \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\) Если \(k \ge 1,\) то \(x \ge \pi — \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi = 3\pi — \arcsin \,\frac{3}{5} > \frac{{5\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) нет. Ответ: а) \(\pi — \arcsin \frac{3}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\pi — \arcsin \frac{3}{5}\).