а)
\(\dfrac{{5\sin x — 3}}{{5\cos x — 4}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\sin x — 3 = 0,}\\{5\cos x — 4 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \dfrac{3}{5},\,}\\{\cos x \ne \dfrac{4}{5}.}\end{array}} \right.\)
Из уравнения \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) получаем \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pi — \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\;\;\;k \in Z.\)
Если \(\sin x = \dfrac{3}{5},\) то \(\cos x = \pm \sqrt {1 — {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {1 — {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^2}} = \pm \dfrac{4}{5}.\) В этом случае с учетом условия \(\cos \,x \ne \dfrac{4}{5}\) системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения \(\sin x = \dfrac{3}{5},\) нужно оставить только ту, для которой \(\cos \,x = — \dfrac{4}{5}.\) Это точка во второй четверти, и решение уравнения имеет вид \(x = \pi — \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k,\,\;\;\;k \in Z.\)
б) Рассмотрим решение: \(x = \pi — \arcsin \,\dfrac{3}{5} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)
Если \(k \le — 1,\) то \(x \le \pi — \arcsin \dfrac{3}{5} — 2\pi = — \pi — \arcsin \,\dfrac{3}{5} < 0,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = \pi — \arcsin \,\dfrac{3}{5} \in \left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k \ge 1,\) то \(x \ge \pi — \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi = 3\pi — \arcsin \,\dfrac{3}{5} > \dfrac{{5\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\) нет.
Ответ: а) \(\pi — \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(\pi — \arcsin \dfrac{3}{5}\).