25В. а) Решите уравнение \(\left( {{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x — 3} \right)\,\sqrt {11\cos x} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right].\)
а) \(\left( {{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 3} \right)\sqrt {11\cos x} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 3 = 0,}\\{\sqrt {11\cos x} = 0}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \ge 0,}\\{\cos x \ne 0}\end{array}\,\;\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = \pm \sqrt 3 ,}\\{\cos x = 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = \pm \sqrt 3 ,}\\{\cos x > 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\cos x > 0\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{3} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{3};\;\;\;x = \frac{\pi }{3} — 2\pi = — \frac{{5\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{7\pi }}{3};\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{3}\).
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: